Условие
С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию.
Если многоугольник делится отрезком AB на на два многоугольника,
то один из этих многоугольников можно отразить симметрично
относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция
разрешается только в том случае, когда
в результате получается несамопересекающийся
многоугольник.) Можно ли путем нескольких таким операций получить
из квадрата правильный треугольник?
Подсказка
При проведении данных операций не изменяются площадь и периметр
многоугольника (как говорят, площадь и периметр являются
инвариантами для данной операции).
Решение
Заметим, что при проведении данных операций не изменяются площадь и периметр
многоугольника.
Предположим, что нам удалось путем нескольких таких операций
получить из квадрата правильный треугольник.
Примем за 1 сторону квадрата. Тогда вначале площадь многоугольника
равнялась 1, а периметр равнялся 4.
В полученном правильном треугольнике. следовательно, периметр
также должен равняться 4 (т.е. сторона треугольника должна равняться
4/3), а площадь - 1.
Однако, площадь правильного треугольника со стороной 4/3 равна
(как легко посчитать) (4*3
1/2)/9, что не равно 1.
Получено противоречие, которое завершает доказательство.
Ответ
нельзя.
Источники и прецеденты использования
