Задача 35373

Тема:    [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

Подсказка

Рекуррентная формула, задающая последовательность, позволяет выразить квадрат члена последовательности через разность двух членов последовательности.

Решение

Поскольку квадрат положительного числа, меньшего 1, меньше самого числа, то из условия 0<x₁<1 и рекуррентной формулы последовательно получаем, что 0<x₂<1, 0<x₃<1, и т.д. Далее, по условию x_k²=x_k-x_k+1, поэтому выражение x₁²+x₂²+...+x_n² можно переписать в виде (x₁-x₂)+(x₂-x₃)+...+(x_n-x_n+1), что равно x₁-x_n+1. Так как x₁<1 и x_n+1>0, то x₁-x_n+1 меньше 1, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача