|
|
 |
Условие
Дана последовательность чисел x1, x2, ... .
Известно, что 0<x1<1 и
xk+1=xk-xk2
для всех k>1.
Докажите, что
x12+x22+...+xn2<1
для любого n>1.
Подсказка
Рекуррентная формула, задающая последовательность, позволяет
выразить квадрат члена последовательности через разность двух
членов последовательности.
Решение
Поскольку квадрат положительного числа, меньшего 1, меньше самого числа, то из условия 0<x1<1 и рекуррентной формулы последовательно получаем, что 0<x2<1, 0<x3<1, и т.д. Далее, по условию xk2=xk-xk+1, поэтому выражение x12+x22+...+xn2 можно переписать в виде (x1-x2)+(x2-x3)+...+(xn-xn+1), что равно x1-xn+1. Так как x1<1 и xn+1>0, то x1-xn+1 меньше 1, что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
