Задача 35382

Темы:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что a³=b³+c³. Докажите, что этот треугольник остроугольный.

Подсказка

Из теоремы косинусов следует, что если угол против стороны a не острый, то сумма квадратов сторон b и c не больше квадрата стороны a.

Решение

Из равенства a³=b³+c³ следует, что a - наибольшая сторона в данном треугольнике. Поскольку против большей стороны лежит больший угол, достаточно доказать, что угол, лежащий против стороны a - острый. Предположим противное. Тогда по теореме косинусов a²=b²+c²-2bc*cos(A), где A - угол против стороны a. Поскольку угол A неострый, cos(A) неположителен, отсюда a² не меньше, чем b²+c². Следовательно, a³ не меньше, чем ab²+ac², что в свою очередь больше b³+c³, так как a - наибольшая сторона. Итак, из предположения, что данный треугольник неостроугольный, мы вывели, что a³>b³+c³, а это противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача