Задача 35398

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Внутри квадрата со стороной 2 расположено семь многоугольников площадью не менее 1 каждый.
Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее ¹/₇.

Подсказка

Оцените площадь объединения этих многоугольников, предполагая, что утверждение задачи не выполняется.

Решение

Предположим, что площадь пересечения каждых двух из данных семи многоугольников меньше ¹/₇. Оценим площадь фигуры
A_i = M₁ ∪ M₂ ∪ ... ∪ M_i  (i = 1, 2, ..., 7),  исходя из нашего предположения. Площадь  S(A₁) = S(M₁) ≥ 1.  Далее, для каждого  i = 2, ..., 7  многоугольник M_i пересекается с каждым из многоугольников M₁, ..., M_i–1 по площади, меньшей ¹/₇. Значит,  S(M_i ∩ A_i–1) < ^i–1/₇,  S(M_i \ A_i–1) > 1 – ^i–1/₇ = ^8–i/₇,
а  S(A_i) > S(A_i–1) + ^8–i/₇.  Следовательно,  S(A₇) > 1 + ⁶/₇ + ⁵/₇ + ... + ¹/₇ = 4.  Но это противоречит тому, что все многоугольники лежат внутри квадрата площади 4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача