Задача 35400

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Внутри угла расположены две окружности с центрами A, B, которые касаются друг друга и сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

Подсказка

Используйте то, что одна из окружностей получается из другой при выполнении гомотетии с центром в вершине угла.

Решение

Обозначим вершину угла за O. Обозначим меньшую окружность S₁ и большую - S₂. Пусть окружность S₁ имеет центр A, а S₂ имеет центр B. Окружность S₂ получается из окружности S₁ гомотетией с центром O. Коэффициент этой гомотетии равен OB/OA. Рассмотрим биссектрису угла. Точку пересечения окружности S₁ с биссектрисой, ближайшую к O, обозначим за M, точку касания окружностей - за N. При гомотетии точка M переходит в N, поэтому OB/OA=ON/OM. Отсюда следует, что OA/OM=OB/ON. Это означает, что при гомотетии H с центром O, переводящей точку M в точку A, точка N переходит в точку B. Следовательно, при гомотетии H окружность S₁ с диаметром MN переходит в окружность S с диаметром AB. Это означает, что окружность S, так же как окружность S₁, будет касаться сторон угла. Это и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача