|
|
 |
Условие
Внутри угла расположены две окружности
с центрами A, B, которые касаются
друг друга и сторон угла.
Докажите, что окружность с диаметром AB касается
сторон угла.
Подсказка
Используйте то, что одна из окружностей получается из
другой при выполнении гомотетии
с центром в вершине угла.
Решение
Обозначим вершину угла за O. Обозначим меньшую окружность S1 и большую - S2. Пусть окружность S1 имеет центр A, а S2 имеет центр B. Окружность S2 получается из окружности S1 гомотетией с центром O. Коэффициент этой гомотетии равен OB/OA. Рассмотрим биссектрису угла. Точку пересечения окружности S1 с биссектрисой, ближайшую к O, обозначим за M, точку касания окружностей - за N. При гомотетии точка M переходит в N, поэтому OB/OA=ON/OM. Отсюда следует, что OA/OM=OB/ON. Это означает, что при гомотетии H с центром O, переводящей точку M в точку A, точка N переходит в точку B. Следовательно, при гомотетии H окружность S1 с диаметром MN переходит в окружность S с диаметром AB. Это означает, что окружность S, так же как окружность S1, будет касаться сторон угла. Это и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
