Задача 35403

Тема:    [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S. Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99. Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше, чем S/99.

Подсказка

Замените эти два числа на их сумму.

Решение

Рассмотрим некоторые два из этих чисел. Предположим, что их сумма R не больше, чем S/99. Заменим эти два числа на их сумму. После этого получился набор из 99 чисел, сумма которых равна S, причем одно из чисел (R) не больше, чем S/99, а остальные - меньше. Но тогда сумма всех чисел меньше, чем 99*S/99=S. Тем самым, получено противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача