|
|
 |
Условие
Через точку, взятую внутри треугольника, параллельно его сторонам
провели прямые.
Вычисляются отношения длин отрезков, получающихся в пересечении
этих прямых с треугольником, к длинам параллельных им
сторон. Докажите, что сумма трех таких отношений равна 2.
Подсказка
Приравняйте эти отношения к отношению площадей некоторых
треугольников.
Решение
Пусть ABC - данный треугольник и O - точка внутри него. Рассмотрим отрезок B'C', проходящий через O и параллельный BC (B' - точка на стороне AB, C' - точка на стороне AC). Тогда B'C'/BC - одно из отношений, о которых идет речь в условии. Пусть прямая AO пересекает BC в точке D. Из подобия треугольников AB'C' и ABC получаем, что отношение B'C'/BC является коэффициентом подобия. Отрезки AO и AD являются соответствующими элементами в подобных треугольниках AB'C' и ABC. Отсюда следует, что отношение AO/AD также является коэффициентом подобия: AO/AD=B'C'/BC. Далее, DO/AD равно отношению площадей треугольников OBC и ABC. В самом деле, у этих треугольников общее основание, а высоты относятся как DO/AD. Итак, DO/AD=S(OBC)/S(ABC). Отсюда AO/AD = (AD-DO)/AD = 1-DO/AD = 1-S(OBC)/S(ABC). Аналогичным образом находим, что второе и третье отношения, о которых говорится в условии, равны 1-S(OAB)/S(ABC) и 1-S(OCA)/S(ABC). Таким образом, сумма всех трех отношений равна (1-S(OBC)/S(ABC))+(1-S(OAB)/S(ABC))+(1-S(OCA)/S(ABC)) = 3-(S(OBC)+S(OAB)+S(OCA))/S(ABC) = 3-1 = 2, так как треугольники OBC, OAB и OCA составляют треугольник ABC.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
