Условие
Через точку, взятую внутри треугольника, параллельно его сторонам
провели прямые.
Вычисляются отношения длин отрезков, получающихся в пересечении
этих прямых с треугольником, к длинам параллельных им
сторон. Докажите, что сумма трех таких отношений равна 2.
Подсказка
Приравняйте эти отношения к отношению площадей некоторых
треугольников.
Решение
Пусть ABC - данный треугольник и O - точка внутри него.
Рассмотрим отрезок B'C', проходящий через O и параллельный
BC (B' - точка на стороне AB, C' - точка на стороне AC).
Тогда B'C'/BC - одно из отношений, о которых идет речь в условии.
Пусть прямая AO пересекает BC в точке D.
Из подобия треугольников AB'C' и ABC
получаем, что отношение B'C'/BC является коэффициентом подобия.
Отрезки AO и AD являются соответствующими элементами в подобных
треугольниках AB'C' и ABC. Отсюда следует, что отношение
AO/AD также является коэффициентом подобия: AO/AD=B'C'/BC.
Далее, DO/AD равно отношению площадей треугольников
OBC и ABC. В самом деле, у этих треугольников общее основание,
а высоты относятся как DO/AD.
Итак, DO/AD=S(OBC)/S(ABC).
Отсюда AO/AD = (AD-DO)/AD = 1-DO/AD = 1-S(OBC)/S(ABC).
Аналогичным образом находим, что второе и третье отношения,
о которых говорится в условии, равны
1-S(OAB)/S(ABC) и 1-S(OCA)/S(ABC).
Таким образом, сумма всех трех отношений равна
(1-S(OBC)/S(ABC))+(1-S(OAB)/S(ABC))+(1-S(OCA)/S(ABC)) =
3-(S(OBC)+S(OAB)+S(OCA))/S(ABC) = 3-1 = 2,
так как треугольники OBC, OAB и OCA составляют треугольник ABC.
Источники и прецеденты использования
