Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.
Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Аналитический метод в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.
Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

Подсказка

Уравнение искомой окружности является линейной комбинацией уравнений двух данных парабол.

Решение

Введём координаты так, что ось $x$ будет осью симметрии первой параболы, а ось $y$ – осью симметрии второй параболы. Уравнения парабол тогда примут вид:  $x = ay^2 + b$,  $y = cx^2 + d$. Коэффициенты $a$ и $c$ можно считать положительными (выбрав соответствующие направления на осях). Каждая из четырёх точек пересечения парабол удовлетворяет этим двум уравнениям. Домножив первое уравнение на $c$, второе – на $a$ и сложив их, получим уравнение $cx + ay = ac (x^2 + y^2) + ad + cb$. Последнее уравнение преобразуется к виду $$\bigg(x-\frac1{2a}\bigg)^2+\bigg(y-\frac1{2c}\bigg)^2 = \frac14 \bigg(\frac1{a^2}+\frac{1}{c^2}\bigg)-\frac{d}{c}-\frac{b}{a}.$$ Это уравнение окружности (правая часть положительна, иначе параболы не имели бы точек пересечения), на которой лежат четыре точки пересечения парабол.

Источники и прецеденты использования