ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35413
Тема:    [ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисовано пять различных окружностей. Известно, что каждые четыре из них имеют общую точку.
Докажите, что все пять окружностей проходят через одну точку.


Подсказка

Рассмотрите три точки пересечения трёх четвёрок окружностей. Эти точки лежат на двух окружностях, то есть некоторые две из этих точек совпадают.


Решение

Обозначим окружности цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Пусть A – общая точка окружностей 1, 2, 3, 4; B – общая точка окружностей 1, 2, 3, 5; C – общая точка окружностей 1, 2, 4, 5. Как видно, каждая из точек A, B, C принадлежит окружностям 1 и 2. Поскольку две различные окружности пересекаются не более, чем по двум точкам, некоторые две из точек A, B, C совпадают. Через эту пару совпадающих точек и проходят все пять окружностей.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .