Условие
Докажите, что система неравенств
|x|<|y-z|, |y|<|z-x|, |z|<|x-y|
не имеет решений.
Подсказка
Рассмотрите две возможности - когда числа
x, y, z одного знака, и когда среди этих чисел есть числа разных
знаков.
Решение
Рассмотрим две возможности.
Если все числа одного знака, то выберем наибольшее по модулю
из чисел x, y, z. Пусть это число - x.
Но тогда величина |y-z| не превосходит максимума из чисел
|y|, |z|, что в свою очередь не превосходит |x|.
Таким образом, неравенство
|x|<|y-z| не выполнено.
Пусть не все числа одного знака, скажем, знаки чисел y и z
одинаковы и отличны от знака числа x.
Пусть, для определенности, |y| не меньше, чем |z|.
Тогда на числовой прямой точки 0 и z расположены между точками x и
y. Поэтому можно записать равенство
|x|+|y|=|x-z|+|z-y|
(обе части этого равенства равны |x-y|).
Из полученного равенства следует, что одновременно не могут
выполняться неравенства
|x|<|y-z|, |y|<|z-x|.
Источники и прецеденты использования
