Задача 35451

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

15 простых натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Докажите, что разность этой прогрессии больше 30000.

Подсказка

Докажите, что разность прогрессии должна делиться на небольшие простые числа.

Решение

  Пусть d – разность нашей прогрессии. Очевидно,  a₉ > 7.  Согласно задаче 78037 разность d прогрессии a₉, a₁₀, ..., a₁₅ делится на 7. Поэтому  a₃ > 13.  Согласно той же задаче d делится на 2, 3, 5, 11 и 13, то есть на 2·3·5·7·11·13 = 30030 > 30000.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача