ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35454
Темы:    [ Построения (прочее) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисован треугольник ABC. Постройте прямую, параллельную основанию AB, которая бы отрезала от треугольника ABC трапецию, в которой сумма боковых сторон была бы равна основанию, противоположному AB.

Подсказка

Найдите на основании трапеции точку, которая делит это основание на отрезки, равные боковым сторонам.

Решение

Проведем анализ. Пусть KL - искомая прямая и AKLB - нужная трапеция, в которой KL=AK+BL. Найдем на основании KL точку I такую, что AK=KI и BL=LI. Треугольник AKI равнобедренный, поэтому $\angle KAI =\angle KIA$. Из параллельности прямых AB и KL следует, что $\angle BAI =\angle KIA$. Отсюда получаем, что $\angle KAI =\angle BAI$, т.е. AI - биссектриса угла CAB. Таким же образом получаем, что BI - биссектриса угла CBA. Таким образом, прямая KL должна проходить через точку пересечения биссектрис треугольника ABC. Отсюда вытекает очевидный способ построения прямой KL. Ясно, что построенная прямая - искомая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .