Задача 35458

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны BC, CA, AB треугольника ABC касаются вписанной в него окружности в точках D, E, F. Докажите, что треугольник DEF – остроугольный.

Подсказка

Выразите углы треугольника DEF через углы треугольника ABС; при этом воспользуйтесь равенством отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.

Решение

Будем обозначать через α, β, γ углы треугольника ABC. Треугольник DFB равнобедренный, поскольку отрезки BD и BF равны как отрезки касательных, проведённых к вписанной окружности из точки B. Поскольку сумма углов треугольника DFB равна 180°,  ∠BDF = ∠BFD = (180° – β) : 2 = 90° – ^β/₂.  Аналогично,  ∠CDE = 90° – ^γ/₂.  Отсюда  ∠FDE = 180° – (90° – ^β/₂) – (90° – ^γ/₂) = ^β/₂ + ^γ/₂ < 90°.  Мы показали, что угол FDE – острый. Аналогично доказывается, что и остальные углы треугольника FDE – острые.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача