Задача 35461

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма  S = 1·2·3·...·2001 + 2002·2003·...·4002  делится на 4003.

Подсказка

Замените каждое из чисел второго произведения на отрицательное число, дающее тот же остаток при делении на 4003.

Решение

S = 1·2·...·2001 + (4003 – 2001)(4003 – 2000)...(4003 – 1) ≡ 1·2·...·2001 + (–2001)(–2000)...(–1) = 1·2·...·2001(1 + (–1)²⁰⁰¹) = 0 (mod 4003).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача