Условие
Может ли проекция правильного тетраэдра на некоторую плоскость
быть квадратом?
Подсказка
Возьмите плоскость, параллельную скрещивающимся ребрам тетраэдра.
Решение
Пусть в качестве плоскости, на которую проектируется тетраэдр,
взята плоскость, параллельная двум
скрещивающимся ребрам AB и CD тетраэдра.
Тогда прямая, проходящая через середины этих ребер,
проектируется в некоторую точку O.
Вершины A и B проектируются в точки A' и B',
симметричные относительно O.
Также
вершины C и D проектируются в точки C' и D',
симметричные относительно O.
Кроме того, отрезки A'B' и C'D' равны и перпендикулярны,
так как ребра тетраэдра
AB и CD равны и перпендикулярны.
Таким образом, A'C'B'D' - квадрат.
Ответ
может.
Источники и прецеденты использования
