Задача 35480

Темы:    [ Системы точек ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

На плоскости дано 300 точек, никакие 3 которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 100 попарно не пересекающихся треугольников с вершинами в этих точках.

Подсказка

Рассмотрите проекции данных точек на некоторую прямую.

Решение

Примем за ось Ox некоторую прямую, не перпендикулярную ни одной из прямых, соединяющих пары данных точек. Обозначим x-ые координаты данных точек через x₁, x₂, ... , x₃₀₀ в порядке возрастания (x₁<x₂<...<x₃₀₀). Возьмем первый треугольник с вершинами в x₁, x₂, x₃, второй треугольник - с вершинами в x₄, x₅, x₆, и т.д., сотый треугольник - с вершинами в x₂₉₈, x₂₉₉, x₃₀₀. Проекции на ось Ox полученных 100 треугольников не пересекаются. Значит, и сами треугольники не пересекаются.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача