При изучении иностранного языка класс делится на две группы. Ниже даны списки групп и полугодовые оценки учащихся. Может ли учительница английского языка перевести одного ученика из первой группы во вторую так, чтобы средний балл учащихся в обеих группах вырос?

   Решение

Тема:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать на остроугольные треугольники.

Подсказка

Научитесь разрезать на остроугольные треугольники прямоугольный треугольник.

Решение

Любой выпуклый многоугольник можно разрезать диагоналями на треугольники. Каждый тупоугольный треугольник можно разрезать высотой, проведенной к наибольшей стороне, на два прямоугольных треугольника. Поэтому достаточно научиться разрезать на остроугольные треугольники любой прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($C$ – прямой угол) на медиане $CM$ достаточно близко к точке $M$ выберем точку $F$. Через $F$ проведем прямые, «почти параллельные» прямым $AC$ и $BC$ так, что они отрезают остроугольный треугольник $FDE$. Теперь осталось разрезать на остроугольные треугольники каждую из «почти трапеций» $ACFD$, $BCFE$ (см. картинку).

Источники и прецеденты использования