Задача 35482

Темы:    [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две стороны, отношение которых заключено между числами 1/2 и 2.

Подсказка

Предположите противное и получите противоречие с тем, что в многоугольнике сторона меньше суммы всех остальных сторон.

Решение

Обозначим через a₁, a₂, ... , a_n длины сторон многоугольника в порядке убывания (таким образом, a₁ - самая длинная сторона). Предположим, что условие задачи не выполняется. Тогда a₂<a₁/2,
a₃<a₂/2<a₁/4, ... ,
a_n<a_n-1/2<...<a₁/2^n-1. Отсюда следует, что a₂+a₃+...+a_n < a₁/2+a₁/4+...+a₁/2^n-1 < a₁. Таким образом, получаем, что в данном многоугольнике сторона a₁ больше суммы остальных сторон, что неверно (отрезок, соединяющий две точки, не длиннее любой ломаной, соединяющей эти точки).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача