Задача 35483

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Правило произведения ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа.

Подсказка

Рассмотрите всевозможные суммы из 2001  2000-х степеней первых N чисел натурального ряда. Сколько будет таких сумм?

Решение

Рассмотрим числа  1, 2, 3, ..., N.  Из 2000-х степеней этих чисел будем составлять всевозможные суммы, в каждой из которых участвует 2001 слагаемое. Таких сумм (без учета порядка слагаемых) всего будет не меньше чем ^N2001/_2001! (каждое слагаемое может быть выбрано N способами, и в результате перестановки слагаемых одинаковыми оказываются не более 2001! сумм). С другой стороны, каждая из рассматриваемых сумм не больше чем 2001N²⁰⁰⁰. Поэтому если  ^N2001/_2001! > 100·2001N²⁰⁰⁰  (то есть  N > 100·2001·2001!,  то не менее 100 сумм принимают одно и то же значение (что нам и требуется).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача