|
|
 |
Условие
На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга.
Докажите, что на полях чёрного цвета расположено чётное число ладей.
Подсказка
Введите координаты на шахматной доске и подсчитайте сумму координат всех ладей.
Решение
Первый способ. Пронумеруем все вертикали, начиная с самой левой, и все горизонтали, начиная с самой нижней, числами от 1 до 8. Тем самым каждой ладье приписывается пара "координат". Сумму этих координат назовем весом ладьи. На каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит по одной ладье (поскольку ладьи не бьют друг друга), поэтому сумма S координат всех ладей равна 2·(1 + 2 + ... + 8), то есть чётна. С другой стороны, чтобы вычислить сумму S, нужно просуммировать веса всех ладей. Однако вес ладьи, стоящей на чёрной клетке, чётен, а вес ладьи, стоящей на белой клетке, нечётен. Поскольку S чётно, то количество нечётных слагаемых-весов чётно, то есть число ладей на чёрных полях чётно.
Второй способ. На чётных горизонталях стоят четыре ладьи. На нечётных вертикалях – тоже четыре. Поэтому число ладей, стоящих на пересечении чётных горизонталей и чётных вертикалей, равно числу ладей, стоящих на пересечении нечётных горизонталей и нечётных вертикалей (и то и другое дополняет число ладей, стоящих на пересечении чётных горизонталей и нечётных вертикалей, до четырёх). Таким образом, все ладьи, стоящие на чёрных полях, разбиты на две равные группы.
Замечания
1. Второй способ – вариация первого (координаты рассматриваются по модулю 2).
2. Эти же рассуждения верны для 2n ладей на "шахматной" доске размера 2n×2n.
Источники и прецеденты использования
| Кружок | |
| Название | ВМШ 57 школы |
| класс | |
| Класс | 8 |
| год | |
| Год | 1998/99 |
| Место проведения | 57 школа |
| занятие | |
| Номер | 10 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 06 |
| web-сайт | |
| задача | |
| книга | |
| Автор | Иванов С.В. |
| Название | Математический кружок |
| глава | |
| Номер | 1 |
| Название | Четность |
| Тема | Четность и нечетность |
| задача | |
| Номер | 19 |
