Задача 35490

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

На какую максимальную степень тройки делится число, десятичная запись которого состоит из 3ⁿ единиц?

Подсказка

Используйте индукцию по n.

Решение

  Обозначим через А_n число, состоящее из 3ⁿ единиц. Докажем по индукции, что А_n делится на 3ⁿ и не делится на 3ⁿ⁺¹. База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции. Число А_n+1 получается умножением числа А_n на число вида 10...010...01. Число 10...010...01 делится на 3 и не делится на  3² = 9,  поскольку сумма его цифр делится на 3 и не делится на 9. Следовательно, А_n+1 имеет в разложении на простые множители на одну тройку больше по сравнению с числом А_k, то есть делится на 3ⁿ⁺¹, но не делится на 3ⁿ⁺².

Ответ

На n-ю степень.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача