Условие
Какое максимальное число плоскостей симметрии может иметь тетраэдр?
Подсказка
Покажите, что каждая плоскость симметрии должна проходить
через ребро тетраэдра.
Решение
В правильном тетраэдре иммется 6 плоскостей симметрии:
каждая из них проходит через одно из ребер и делит пополам
скрещивающееся с ним ребро.
Покажем, что больше шести плоскостей симметрии быть не может.
Сразу заметим, что плоскость симметрии проходит через четное
число вершин тетраэдра, так как остальные вершины должны
разбиться на пары симметричных относительно этой
плоскости симметрии.
Пусть плоскость симметрии не проходит не через одну из
вершин тетраэдра.
Тогда 4 вершины тетраэдра должны разбиться на две пары вершин,
симметричных относительно плоскости симметрии.
Следовательно, прямые, проходящие через эти пары вершин,
должны быть перпендикулярны плоскости симметрии, т.е.
параллельны между собой. Так образом, четыре вершины тетраэдра
должны лежать в одной плоскости, что невозможно.
Ясно, что все четыре вершины тетраэдра не могут лежать в
плоскости симметрии. Отсюда следует, что
плоскость симметрии обязана проходить ровно через две
из вершин (т.е. через ребро) тетраэдра.
Пусть плоскость симметрии проходит через одно из ребер
тетраэдра. Тогда оставшиеся две вершины симметричны относительно
этой плоскости, поэтому эта плоскость должна проходить через
середину ребра, соединяющего оставшиеся две вершины.
Предыдущие рассуждения показывают, что имеется не более одной
плоскости симметрии, проходящей через данное ребро тетраэдра.
Тем самым, всего плоскостей симметрии не больше, чем ребер
тетраэдра, т.е. не больше шести.
Ответ
6.00
Источники и прецеденты использования
