Задача 35506

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Условие

Можно ли таблицу  n×n  заполнить числами –1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, во всех столбцах и на главных диагоналях были различны?

Подсказка

Сколько указанных сумм и возможных значений для указанных сумм?

Решение

В условии требуется, чтобы значения  2n + 2  сумм (n строк, n столбцов и две диагонали) были различны. Каждая из этих сумм состоит из n слагаемых, принимающих одно из значений –1, 0, 1. Поэтому каждая из сумм принимает целочисленное значение в диапазоне от –n до n. Всего возможных значений сумм –  2n + 1.  Поскольку  2n + 1 < 2n + 2,  какие-то две из сумм обязательно принимают равные значения.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача