|
|
 |
Условие
Четыре села находятся в вершинах квадрата со стороной 1 км. Для того, чтобы можно было проехать из каждого села в каждое, проложили две прямолинейные дороги вдоль диагоналей данного квадрата. Можно ли проложить сеть дорог между селами иным образом так, чтобы их суммарная длина уменьшилась, но по-прежнему из каждого села можно было проехать в каждое?
Подсказка
Попробуйте найти сеть дорог, состоящую из пяти прямолинейных участков.
Решение
Обозначим через A, B, C, D села, являющиеся вершинами квадрата. На отрезке, соединяющем середины сторон AB и CD, возьмём точки M и N, отстоящие от сторон AB и CD на 3/8. Тогда AM = BM = CN = DN = 5/8, MN = 1/4. Таким образом, длина новой сети дорог равна 2,75, а длина старой сети равна
Ответ
Можно.
Замечания
На самом деле годятся любые точки M и N на указанной средней линии, отстоящие от AB и CD на расстояния, не меньшие . Самая короткая сеть дорог получается, когда эти расстояния равны
, то есть когда ∠AMB = ∠CND = 120°. Это следует из задачи 116106.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
