Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1...An и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA1, ..., OAn.
  а) При  n = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A1OA2, ..., AnOA1 одинакова.
  б) Доказать, что при  n = 10  такой нумерации осуществить нельзя.

Вниз   Решение


Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).

Вверх   Решение

Задача 35512
Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей (из этой компании).


Подсказка

В компании не могут одновременно присутствовать человек, который дружит со всеми, и человек, который не дружит ни с кем.


Решение

Пусть в компании n человек. Тогда у каждого человека имеется от 0 до  n – 1  друзей. Таким образом, количество друзей может принимать n различных значений:  0, 1, 2, ..., n – 1.  Поэтому если бы n человек имели различное число друзей, то в компании присутствовало бы по одному человеку, имеющему  0, 1, 2, ... , n – 1  друзей. С другой стороны, если есть человек, имеющий  n – 1  друга, то он дружит со всеми, следовательно, нет человека, который имеет 0 друзей. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .