Задача 35516

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

В каждой клетке таблицы 9×9 записано число, по модулю меньшее 1. Известно, что сумма чисел в каждом квадратике 2×2 равна 0.
Докажите, что сумма чисел в таблице меньше 9.

Подсказка

Расположите в таблице как можно больше непересекающихся и "не сильно" пересекающихся квадратиков 2×2.

Решение

Расположим в таблице 20 квадратиков 2×2 так, как показано на картинке.

Сумма чисел во всех этих квадратиках по условию равна 0. При этом все клетки, не лежащие на диагонали, покрыты ровно одним квадратиком, диагональные клетки с числами a, c, e, g, j не покрыты никаким квадратиком, а диагональные клетки с числами b, d, f, i покрыты двумя квадратиками. Поэтому сумма всех чисел таблицы равна  0 + a + c + e + g + j – b – d – f – i,  что не превосходит  |a| + |c| + |e| + |g| + |j| + |b| + |d| + |f| + |i| ≤ 9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача