Условие
Известно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников
совпадают.
Докажите, что их площади равны.
Подсказка
Какую часть площади четырехугольника составляет площадь
четырехугольника с вершинами в серединах его сторон?
Решение
Пусть K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника
ABCD. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, поэтому
KL параллельна AС и равна AC/2.
Таким же образом, MN параллельна AС и равна AC/2,
LM параллельна BD и равна BD/2 и
NK параллельна BD и равна BD/2.
Таким образом, KLMN - параллелограмм, стороны которого параллельны
диагоналям четырехугольника ABCD и равны соответственно
половинам этих диагоналей.
По формуле площади четырехугольника площадь четырехугольника
KLMN равна AC*BD*sinX/2, где X - угол между диагоналями AC и BD.
Площадь параллелограмма KLMN равна
KL*LM*sinX = (AC/2)*(BD/2)*sinX = AC*BD*sinX/4.
Таким образом, площадь параллелограмма KLMN вдвое меньше площали
четырехугольника ABCD.
Из доказанного легко следует утверждение задачи:
площади обоих четырехугольников равны удвоенной площади
четырехугольника с вершинами в точках, являющихся их общими
серединами сторон.
Источники и прецеденты использования
