ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 35527
УсловиеИзвестно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников
совпадают.
Докажите, что их площади равны.
ПодсказкаКакую часть площади четырехугольника составляет площадь
четырехугольника с вершинами в серединах его сторон?
РешениеПусть K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, поэтому KL параллельна AС и равна AC/2. Таким же образом, MN параллельна AС и равна AC/2, LM параллельна BD и равна BD/2 и NK параллельна BD и равна BD/2. Таким образом, KLMN - параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника ABCD и равны соответственно половинам этих диагоналей. По формуле площади четырехугольника площадь четырехугольника KLMN равна AC*BD*sinX/2, где X - угол между диагоналями AC и BD. Площадь параллелограмма KLMN равна KL*LM*sinX = (AC/2)*(BD/2)*sinX = AC*BD*sinX/4. Таким образом, площадь параллелограмма KLMN вдвое меньше площали четырехугольника ABCD. Из доказанного легко следует утверждение задачи: площади обоих четырехугольников равны удвоенной площади четырехугольника с вершинами в точках, являющихся их общими серединами сторон. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке