Условие
На столе - куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из
какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень,
а затем одну из куч делят на две.
Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки,
состоящие из трех камней?
Подсказка
При выполнении хода сумма числа камней и числа кучек остается
постоянной.
Решение
Заметим, что при выполнении одного хода
число камней на столе уменьшается на 1, а число кучек
увеличивается на единицу.
Таким образом, при выполнении хода или нескольких ходов
сумма числа камней и числа кучек остается
постоянной, равной 1002 (так как вначале число кучек было равно 1,
а число камней - 1001).
Если бы в конце концов мы получили n кучек по 3 камня,
то в этот момент число камней на столе было бы равным 3n,
и следовательно,
сумма числа камней и числа кучек была бы равна 3n+n=4n.
Но ни при каком натуральном n число 4n не может быть равно 1002,
так как 1002 не делится на 4. Тем самым, получено противоречие,
доказывающее, что требуемое в условии задачи не возможно.
Ответ
нельзя.
Источники и прецеденты использования
