Задача 35550

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Через фиксированную точку внутри окружности проводятся всевозможные пары взаимно перпендикулярных хорд.
Докажите, что сумма квадратов их длин – величина постоянная.

Решение

Пусть R – радиус окружности, O – её центр, A – фиксированная точка,  r = OA;  две хорды перпендикулярны и проходят через A, x – расстояние от O до первой хорды, а y – до второй. Тогда x и y – проекции отрезка OA на две перпендикулярные прямые, содержащие данные хорды, значит,  x² + y² = OA² = r².  Далее, квадрат длины хорды, находящейся на расстоянии x от центра O, равен  4(R² – x²),  квадрат длины второй хорды равен  4(R² – y²).  Следовательно, сумма квадратов длин хорд равна  4(R² – x²) + 4(R² – y²) = 8R² – 4r².

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача