Условие
Найдите значение произведения
(1-1/4)(1-1/9)...(1-1/100) (числа в знаменателях равны квадратам
натуральных чисел от 2 до 10).
Подсказка
Каждый сомножитель можно привести к общему знаменателю и разложить по
формуле разности квадратов.
Решение
Преобразуем данное выражение:
(1-1/4)(1-1/9)...(1-1/100) =
((2
2-1)/2
2)((3
2-1)/3
2)...((10
2-1)/10
2).
Используя формулу разности квадратов, далее преобразуем последнее выражение
к виду
((2-1)*(2+1)/2
2)((3-1)(3+1)/3
2)...((10-1)(10+1)/10
2) =
(1*3/2*2)(2*4/3*3)...(9*11/10*10).
Мы видим, что почти все сомножители числителя и знаменателя сокращаются.
В числителе остается 11, а в знаменателе - 2 и 10.
Таким образом, значение выписанного произведения равно 11/20=0,55.
Ответ
0,55.
Источники и прецеденты использования
