Условие
Известно, что в тетраэдре две пары скрещивающихся ребер
перепндикулярны. Докажите, что и третья пара скрещивающихся ребер
обладает этим свойством.
Подсказка
Удобно использовать скалярное произведение векторов.
Решение
Обозначим три вектора, идущие вдоль ребер, выходящих из одной вершины
тетраэдра, за a, b, c. Тогда векторы, идущие вдоль оставшихся
трех ребер, равны b-c, c-a, a-b.
Условие перпендикулярности двух векторов запишем как
равенство нулю скалярного произведения.
Таким образом, перпендикулярность двух пар скрещивающихся ребер
запишется как система двух равенств
(a,b-c)=0, (b,c-a)=0.
Раскроем эти равенства, используя свойство линейности
скалярного произведения:
(a,b)-(a,c)=0, (b,c)-(b,a)=0.
Сложив эти равенства, получаем (с учетом (a,b)=(b,a)):
(b,c)-(a,c)=0 или (b-a,c)=0,
что означает перпендикулярность для оставшейся пары
скрещивающихся ребер.
Источники и прецеденты использования
