Задача 35568

Тема:    [ Стереометрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что у любой треугольной пирамиды найдется сечение, имеющее форму ромба.

Подсказка

Выберите нужное сечение из множества сечений, параллельных двум противоположным ребрам пирамиды.

Решение

Пусть ABCD - данная пирамида. Рассмотрим плоскости П₁ и П₂, каждая из которых параллельна прямым AB и CD, и кроме того, П₁ содержит AB и П₂ содержит CD. Таким образом, тетраэдр оказывается заключенным между парой плоскостей П₁ и П₂. Рассмотрим плоскость П, параллельную П₁ и П₂, лежащую между ними и такую, что расстояния h₁ и h₂ от П до П₁ и от П до П₂ относятся как AB к CD. Покажем, что П - искомая плоскость, пересекающая пирамиду по ромбу. Обозначим через P, Q, R, S точки пересечения плоскости П соответственно с ребрами AC, CB, BD, DA пирамиды. Тогда PQ и AB параллельны как прямые пересечения параллельных плоскостей П₁ и П с плоскостью ABC. Аналогично, RS и AB параллельны. Следовательно, PQ и RS параллельны. Таким же образом, прямые QR и SP параллельны. Отсюда следует, что четырехугольник PQRS - параллелограмм. Далее, треугольники CPQ и CAB подобны с коэффициентом подобия h₂/(h₁+h₂), следовательно, PQ=AB*h₂/(h₁+h₂). Также QR=BC*h₁/(h₁+h₂). Но по выбору плоскости П AB/BC=h₁/h₂, откуда PQ=QR. Тем самым, четырехугольник PQRS - ромб.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача