Условие
Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий
цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри
шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний
от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.
Подсказка
Правильный шестиугольник - это пересечение двух правильных
треугольников; используйте, что сумма расстояний от любой точки,
лежащей внутри правильного треугольника, до его сторон, постоянна.
Решение
Будем для краткости под сторонами шестиугольника подразумевать
прямые, содержащие эти стороны. Пусть O - данная точка, а O' - ее образ при повортое
на 60
o относительно центра шестиугольника. Расстояния от O до синих
сторон соответственно равны расстояниям от O' до красных сторон. Но красные стороны
образуют правильный треугольник, поэтому теперь утверждение задачи следует из хорошо известного факта о том,
что сумма расстояний от точки внутри правильного треугольника до его сторон не зависит от выбора точки.
Источники и прецеденты использования
