Условие
Какое максимальное число ребер правильной n-угольной
призмы может пересекать плоскость, не проходящая через вершины
призмы?
Подсказка
А какое наибольшее число граней может быть пересечено?
Решение
Заметим, что пересечение призмы и плоскости есть многоугольник, причем его
вершины соответствуют ребрам призмы, пересекаемым плоскостью, а его
стороны соответствуют граням призмы, пересекаемым плоскостью. Следовательно,
плоскость пересекает равное число ребер и граней призмы. Найдем максимально возможное
число граней, пересекаемых плоскостью. Для этого рассмотрим пару параллельных
прямых, которые лежат на разных основаниях призмы и отсекают от оснований небольшие треугольники,
причем так, что вершины этих треугольников не лежат на концах одного и того же ребра призмы.
Проведем плоскость через эти две прямые. Нетрудно убедиться, что она пересечет все грани
призмы, то есть 2 основания и n боковых сторон. Из сказанного выше следует, что ответ в задаче -
n+2.
Источники и прецеденты использования
