ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35576
Тема:    [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник имеет площадь, равную 1. Докажите, что длина его средней по длине стороны не меньше, чем $\sqrt {2}$.

Подсказка

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух его сторон.

Решение

Обозначим стороны треугольника через a, b, c, так что a - наибольшая сторона, а c - наименьшая сторона. По формуле площади площадь S треугольника равна $bc\sin \alpha /2$, где $\alpha$ - угол между сторонами b и c. Таким образом, $ S \le bc/2 \le b^2/2$. Итак, квадрат средней по длине стороны b не меньше 2S=2, поэтому b не меньше $\sqrt {2}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .