Задача 35577

Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Даны положительные числа a, b, c, d, причем a>b>c>d. Докажите, что (a+b+c+d)²>a²+3b²+5c²+7d².

Подсказка

Либо честно раскройте скобки и оцените слагаемые, либо используйте геометрическую интерпретацию - постарайтесь в квадрате со стороной a+b+c+d поместить один квадрат со стороной a, три квадрата со стороной b, пять квадратов со стороной c и семь квадратов со стороной d.

Решение

Раскроем скобки и сгруппируем подходящим образом слагаемые: (a+b+c+d)² = (a²)+(2ab+b²)+(2ac+2bc+c²)+(2ad+2bd+2cd+d²). Мы видим, что вторая скобка в правой части больше 3b², поскольку ab>b². Также третья скобка в правой части больше 5c², и четвертая скобка больше 7d². Отсюда легко следует нужное утверждение.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача