ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35579
Темы:    [ Гомотетия и поворотная гомотетия ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.


Подсказка

Этот образ можно поместить даже в треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах исходного многоугольника.


Решение

  Рассмотрим треугольник ABC наибольшей площади из всех треугольников с вершинами в вершинах исходного многоугольника. Проведя через вершины этого треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам, получим «удвоенный» треугольник A'B'C'. Покажем, что весь данный многоугольник содержится целиком внутри треугольника A'B'C'. Действительно, предположим противное – некоторая вершина X многоугольника лежит вне треугольника A'B'C'. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих трёх условий:
    1) точка X лежит по разные стороны с отрезком BC относительно прямой B'C',
    2) точка X лежит по разные стороны с отрезком CA относительно прямой C'A',
    3) точка X лежит по разные стороны с отрезком AB относительно прямой A'B'.
  Пусть имеет место первая возможность. Тогда  SXBC > SABC  (основание BC общее, а высота, проведённая к BC, у треугольника XBC больше), что противоречит нашему предположению.
  Аналогично разбираются оставшиеся две возможности.
  Рассмотрим гомотетию с центром в центре тяжести треугольника ABC и коэффициентом – ½. При выполнении этой гомотетии треугольник A'B'C' перейдёт в треугольник ABC, а образ данного многоугольника окажется внутри треугольника ABС.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .