|
|
 |
Условие
Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.
Подсказка
Этот образ можно поместить даже в треугольник наибольшей площади с вершинами в вершинах исходного многоугольника.
Решение
Рассмотрим треугольник ABC наибольшей площади из всех треугольников с вершинами в вершинах исходного многоугольника. Проведя через вершины этого треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам, получим «удвоенный» треугольник A'B'C'. Покажем, что весь данный многоугольник содержится целиком внутри треугольника A'B'C'. Действительно, предположим противное – некоторая вершина X многоугольника лежит вне треугольника A'B'C'. Тогда выполняется хотя бы одно из следующих трёх условий:
1) точка X лежит по разные стороны с отрезком BC относительно прямой B'C',
2) точка X лежит по разные стороны с отрезком CA относительно прямой C'A',
3) точка X лежит по разные стороны с отрезком AB относительно прямой A'B'.
Пусть имеет место первая возможность. Тогда SXBC > SABC (основание BC общее, а высота, проведённая к BC, у треугольника XBC больше), что противоречит нашему предположению.
Аналогично разбираются оставшиеся две возможности.
Рассмотрим гомотетию с центром в центре тяжести треугольника ABC и коэффициентом – ½. При выполнении этой гомотетии треугольник A'B'C' перейдёт в треугольник ABC, а образ данного многоугольника окажется внутри треугольника ABС.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
