ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35586
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисовано несколько точек. Докажите, что можно провести прямую так, чтобы расстояния от всех точек до неё были различными.


Подсказка

Если расстояния от двух точек до прямой одинаковы, то эта прямая либо параллельна прямой, соединяющей эти две точки, либо проходит через середину отрезка, соединяющего данные точки.


Решение

  Рассмотрим две из данных точек A и B. Пусть некоторая прямая l обладает тем свойством, что расстояния до неё от точек A и B равны. Если точки A и B лежат по одну сторону от прямой l, то прямая l параллельна прямой B. Если же точки A и B лежат по разные стороны от прямой l, то как нетрудно видеть, прямая l проходит через середину отрезка AB. Итак, если расстояния от двух точек до прямой одинаковы, то эта прямая либо параллельна прямой, соединяющей данные точки, либо она проходит через середину отрезка, соединяющего данные точки.
  Рассмотрим все прямые, проходящие через всевозможные пары данных точек. Эти прямые образуют конечное множество L. Рассмотрим также середины всевозможных отрезков, соединяющих пары данных точек. Эти точки образуют конечное множество P. Выберем теперь прямую, не параллельную никакой прямой из множества L и не проходящую ни через одну из точек множества P (это возможно ввиду конечности множеств L и P).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .