Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).

   Решение

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 2 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

Подсказка

Диагональ не меньше высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Решение

Диагональ прямоугольника является наклонной, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе. Следовательно, диагональ не меньше высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, и наименьшее значение длины диагонали достигается тогда, когда одна из диагоналей совпадает с высотой треугольника.

Источники и прецеденты использования