Задача 35628

Темы:    [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10

Условие

Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)

Решение 1

Можно расставить 16! способами 16 команд на 16 местах, после чего разбить их на пары 1-2, 3-4, ... , 15-16 (команды с нечётными номерами – хозяева, с чётными – гости). Но при этом каждое разбиение на пары в этих вариантах встречается 8! раз (количество способов переставить 8 пар по порядку). Таким образом, количество расписаний первого тура равно  16! : 8!.

Решение 2

Есть    способов выбрать 8 команд, которые будут играть на своем поле. В каждом из них 8! способов "расставить" 8 оставшихся команд в качестве их противников. Всего    способов.

Решение 3

Возьмём любую команду. Есть 15 способов выбрать её противника и два способа указать, какая из этих двух команд играет на своем поле. Теперь берём любую команду из оставшихся. Есть 13 способов выбрать её противника и два способа... Рассуждая так и дальше, получим  2·15·2·13·...·2·1 = 2⁸·15!!  способов.

Ответ

16! : 8! = 2⁸·15!! способами.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача