ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35632
Тема:    [ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г.
Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.


Подсказка

Набирайте на одной чаше самые тяжелые изюминки, пока чаша не станет весить больше 500 г.


Решение

  Возьмём 500 самых тяжелых изюминок и положим их на левую чашу весов. Вес этих 500 изюминок не больше  500·1,002 = 501 г.  Рассмотрим два случая.
  1) Самая легкая из этих изюминок весит больше 1 г. Тогда суммарный вес изюминок на левой чаше будет больше 500 г. Положим оставшиеся изюминки на правую чашу весов. Их общий вес не меньше  1001 – 501 = 500 г.,  но не больше веса изюминок на левой чаше. Значит, разница между весами на двух чашах будет не больше 1 г.
  2) Cамая лёгкая из этих изюминок весит не больше 1 г. Тогда, если нужно, будем подкладывать по одной изюминке на левую чашу, пока её вес не станет больше 500 г. Поскольку мы докладывали изюминки весом не больше 1 г., то суммарный вес изюминок на левой чаше будет не больше 501 г. Положим оставшиеся изюминки на правую чашу, и так же, как и в первом случае, получим, что разность между весами чаш не будет превосходить 1 г.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .