Задача 35637

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Сумма двух натуральных чисел равна 201. Докажите, что произведение этих чисел не может делиться на 201.

Подсказка

Покажите, что если произведение данных в условии чисел делится на 201, то каждое из них должно делиться на 201.

Решение

Пусть данные числа – a и b. Тогда  a + b = 201.  Рассмотрим произведение ab. Предположим, что ab делится на  201 = 3·67.  Тогда либо a, либо b кратно 3. Но если a делится на 3, то  b = 201 – a  также делится на 3, и наоборот. Таким образом, оба числа a и b кратны 3. Аналогично доказывается, что оба числа a и b делятся на 67. Итак, каждое из чисел a, b делится на  3·67 = 201.  Но тогда каждое из них не меньше 201, и сумма не может равняться 201.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача