ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 35641
УсловиеСуществуют ли три различных действительных числа, каждое из которых в сумме с произведением двух оставшихся дает одно и то же число? ПодсказкаМожно показать, что такие числа являются корнями одного и того же квадратного трёхчлена. Решение 1Пусть a, b, c – такие числа, что a + bc = b + ca = c + ab = p. Тогда a² + abc = pa, b² + abc = pb, c² + abc = pc. Обозначая abc = q, получаем, что числа a, b, c являются корнями квадратного уравнения x² – px + q = 0. Поскольку у квадратного уравнения имеется не более двух различных корней, то по крайней мере два из чисел a, b, c должны совпадать. Решение 2Пусть a ≠ b и a + bc = b + ca. Тогда a – b = c(a – b), то есть c = 1. Если, кроме этого, a + bc = с + ab, то, аналогично, a = c или b = 1. В любом случае два из трёх чисел равны. ОтветНе существуют. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|