Задача 35642

Тема:    [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пол комнаты площадью 6 м² покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна 3 м².
Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади, не меньшей 1 м².

Подсказка

Предположите противное и оцените площадь, покрытую всеми тремя коврами.

Решение

Пусть это не так. Тогда первый и второй ковры пересекаются по площади, меньшей 1 м². Поэтому объединение этих двух ковров покрывает площадь, большую  3 + 3 – 1 = 5 м².  Третий ковер имеет общую площадь, меньшую 1 м², с первым ковром и общую площадь, меньшую 1 м², со вторым ковром. Следовательно, площадь, большая 1 м², покрыта только третьим ковром. Таким образом, площадь, покрытая всеми тремя коврами, больше  5 + 1 = 6 м²,  т.е. больше площади комнаты. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача