Задача 35677

Темы:    [ Шахматная раскраска ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Композиции поворотов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Город в виде треугольника разбит на 16 треугольных кварталов, на пересечении любых двух улиц расположена площадь (всего в городе 15 площадей). Турист начал обход города с некоторой площади и закончил обход на некоторой другой площади, при этом он побывал на каждой площади ровно 1 раз. Докажите, что в процессе обхода турист хотя бы 4 раза повернул на 120⁰.

Подсказка

Окрасьте кварталы в черный и белый цвета в шахматном порядке. Если турист прошел по двум улицам одного квартала, то он совершил поворот на 120⁰.

Решение

Всего площадей 15, следовательно, турист прошел по 14 улицам, соединяющим пары соседних площадей. Окрасим кварталы в черный и белый цвета в шахматном порядке (см. картинку), черных кварталов получилось 10, и каждая улица является границей ровно одного черного квартала. Турист не мог пройти по всем трем улицам, ограничивающим квартал. Значит, найдутся 14-10=4 черных квартала, для которых турист прошел по двум улицам. Если турист прошел по двум улицам одного квартала, то нетрудно видеть, что он совершил поворот на 120⁰ в одной из площадей этого квартала. Итак, не мене, чем в четырех черных кварталах совершен поворот на угол 120⁰.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача