Задача 35697

Темы:    [ Векторы (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Клетки доски 2001×2001 раскрашены в шахматном порядке в чёрный и белый цвета так, что угловые клетки чёрные. Для каждой пары разноцветных клеток рисуется вектор, идущий из центра чёрной клетки в центр белой. Докажите, что сумма нарисованных векторов равна 0.

Подсказка

Каждому вектору можно сопоставить симметричный относительно центра доски.

Решение

Для каждой чёрной клетки рассмотрим клетку, симметричную ей относительно центра доски. Она также чёрная. Аналогично, для каждой белой клетки рассмотрим клетку, симметричную ей относительно центра доски. Она также белая. Поэтому для каждого нарисованного вектора имеется еще один нарисованный вектор, симметричный данному относительно центра доски. Эти два вектора противоположно направлены, то есть дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, все векторы разбиваются на пары векторов, дающих в сумме нулевой вектор. Отсюда следует, что сумма всех векторов равна 0.

Замечания

Задача предлагалась на Московской областной математической олимпиаде 2001/2002 г.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача