Условие
Любой ли трехгранный угол можно так пересечь плоскостью, что в
сечении получится правильный треугольник?
Подсказка
Найдите соответствующий контрпример среди трехгранных углов
с двумя плоскими прямыми углами.
Решение
Рассмотрим трехгранный угол SABC, у которого плоский угол BSC
меньше 60
0, а ребро SA перпендикулярно плоскости SBC.
Предположим, что сечение ABC этого трехгранного угла является
правильным треугольником.
В прямоугольных треугольниках ABS и ACS равны гипотенузы, поэтому
SB=SC. В равнобедренном треугольнике SBC угол при вершине S
наименьший,
поэтому BC<SB. Ясно также, что SB<AB (наклонная больше
проекции), и следовательно, BC<AB.
Получено противоречие.
Ответ
нет, не любой.
Источники и прецеденты использования
