ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35747
Темы:    [ Гомотетия и поворотная гомотетия (прочее) ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что графики функций  y = x²  и  y = 2x²  являются подобными фигурами.


Подсказка

Эти графики совмещаются гомотетией с центром в начале координат.


Решение 1

Пусть точка  (a, b)  лежит на параболе  y = 2x2,  то есть  b = 2a².  Тогда  2b = (2a)².  Это означает, что точка  (2a, 2b)  лежит на параболе  y = x².  Таким образом, парабола  y = x²  получается из параболы  y = 2x²  гомотетией с коэффициентом 2 и центром в начале координат. (Нетрудно видеть, что соответствие взаимно однозначно.)


Решение 2

Гомотетия с коэффициентом ½ и центром в начале координат есть композиция сжатий в два раза по обеим осям. Значит, она превращает график функции f(x) в график функции ½ f(2x). В частности, из графика функции  y = x²  получится график функции  y = 2x².

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .