Задача 35765

Темы:    [ Степень вершины ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Остовы многогранных фигур ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь рёбер.

Подсказка

Из каждой вершины многогранника выходит не меньше трёх рёбер.

Решение

Если у многогранника четыре вершины, то это тетраэдр, имеющий шесть рёбер. Пусть число n вершин многогранника не меньше пяти. В каждой вершине многогранника сходится по крайней мере три грани, таким образом, из каждой вершины многогранника выходит не меньше трёх рёбер. Значит, всего ребёр не меньше чем  ³ⁿ/₂ > 7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача