Условие
На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость 5 отрезков?
Подсказка
Каждый следующий отрезок пересекается с n уже проведенными
не более, чем в n точках.
Решение
Пусть n отрезков уже проведено, и они делят плоскость на
K(n) частей. Проведем (n+1)-ый отрезок.
Он пересекается с n уже проведенными
не более, чем в n точках, которые высекают
на нем не более (n-1) отрезков.
Каждый из этих отрезков может поделить на две уже
имеющуюся часть плоскости. Таким образом, проведение
(n+1)-го отрезка добавляет не более (n-1) новых частей
плоскости, т.е. K(n+1) не превосходит K(n)+n-1 (при n>1).
Отсюда легко получить (поскольку K(2)=1), что
K(5) не превосходит 1+(1+2+3)=7.
Пример с семью частями плоскости строится так.
Проводятся 5 прямых общего положения и на этих прямых берутся
5 отрезков, содержащих все попарные точки пересечения этих прямых.
Ответ
7.00
Источники и прецеденты использования
